MATH1050: Mathematics Toolbox for Science

Semester 1, 2025

Assignment 1

PART A

1. (a)       (i)   Perform the following calculation.  Give your answer in scientific notation to four significant figures.

(ii)   Convert the angle 112 degrees into radians.  Give your answer correct to two decimal places.

(b)   Consider the following equation for the mass W in grams of a radioactive isotope in a sample, where t is in years:

(i)   What is the mass of radioactive isotope in the sample at t = 0? What is the mass of radioactive isotope in the sample after 20 years according to this equation? Express your answer correct to three significant figures.

(ii)   Express W in the form Aekt.

(iii)   (Harder) What is the half life of the radioisotope in this sample?

(c)   Consider the four sketches of curves given below.  For each curve, say whether the relationship that it plots is linear, quadratic, exponential or periodic.  You may assume that the axes cross at the origin (0 ; 0).

PART B

2. Dilution problems. In chemistry, biochemistry, pharmocology and other medical sci- ences,  students are often required to dilute a highly concentrated solution to make a solution with a lower concentration of solute.  Here the solute is the dissolved substance. The substance that does the dissolving, eg water is call the solvent.

The equation which is used to find how much solvent needs to be added to a highly concentrated solution to produce a solution of a given, weaker concentration is:

C1 V1  = C2 V2 ,

where C1  is the concentration of substrate in stronger solution and V1  is its volume and C2  is the concentration that is required in the weaker solution and V2  is the volume of that solution. Here we will assume that concentration is measured in moles per litre and volume is measured in litres.

Note that  chemists  use the  symbol  M to represent  moles per  litre.   We will  use this convention in this question.

(a)   Usually a lab scientist wants to know what will be the new volume of a solution that has been diluted to a given concentration.  We can find this out by finding V2 .  Express V2  as a function of C1 , C2  and V1  by making V2  the subject of the equation above.

(b)   Some students want to dilute a solution of HCl with concentration of 0.5 M to make a solution where the concentration of HCl is 0.1 M. They start with 100 ml of the solution with concentration of 0.5 M. When this is diluted to 0.1 M what volume of the weaker solution will they get?  How much water do they need to add to the original solution to obtain a solution with concentration of 0.1 M of HCl?

(c)   In another experiment, the students need 50ml of solution with a concentration of 0.2 M of HCl. What volume of the 0.5 M solution do they need to obtain exactly 50ml of the 0.2 M solution?

3. Solar power take-up. Read the following web story about the world wide take-up of solar panel technology for electricity generation:

https://www.abc.net.au/news/2024-12-18/survey-of-the-worlds-solar-shows-global-boom/104006096 .

(This link is also given on the Assignment 1 page, so you can click directly on it.) There are several graphs in this story.  This question asks you to think about some of these graphs and other parts of the story in more detail.  Please note that if you hover your cursor over some of the curves on the graphs, this displays the data that has been plotted at that point. This may be useful in answering the following questions.

(a)   In this web story, an energy analyst, speaking about the proportion of power that is generated from solar panels says, If I do the maths, from 0.5 per cent to 5 per cent [of global power] takes about the same time as from 5 per cent to 80 per cent. Is this rate of growth

•  exponential,

•  faster than exponential, or

•  slower than exponential?

Justify your answer.

(b)   About halfway through the story, there is a series of graphs that show how solar is outpacing fossil fuels in India. Unfortunately, no units are given on the vertical axes of these plots, so we will just say these are in  “energy units”.

Consider the first graph of the series which describes the number of energy units generated from fossil fuels as a function of time in years from 2000 to 2023.  This looks like a sigmoid curve whose functional form. is where t is the inde pendent variable.

(i)   Let the independent variable t be the time in years from 2000.  Estimate a suitable maximal asymptote value M. Hence find a suitable value of K, the half maximal value.

(ii)   Using your values for M and K, experiment with Mathematica to find a suitable value for n.  That is, use Mathematica to plot with your values of M and K but with different values of n. What value(s) of n gives a plot that is most similar to that in the web story?  (Please include enough of your Mathematica output to justify your choice of n.)

(iii)   We can represent this curve quite well by a sigmoid curve for the years from

2000 to 2023.  But what do you think this curve might look like if we were able to plot fossil fuel usage between 2000 and 2040?  Why do you think this? Is it valid to use a sigmoid curve to approximate this function between 2000 and 2023? Why or why not?

(c)   About two thirds of the way through the story there is graph headed ”The global south is shifting more quickly”.   Each of the three curves on this graph can be modelled by the function

0.5 × ekt

where t is time in years from when uptake of solar reached 0.5% of the energy mix.

(i)   For each curve, estimate the values of t and energy uptake at three or four points on that curve.   Your estimate  for  energy uptake should be to at least two significant figures, so you will need to estimate from the graph because  hovering your cursor will only give one significant figure.   Using Mathematica, plot these points and the point (0 , 0.5) on a graph.

(ii)   Use the Show[] command in Mathematica to plot 0.5 × ekt  for various values of k, on the same set of axes as your data points.  Use these Mathematica experiments to find k and hence an explicit model for solar power uptake for each of Greater China, the Global South and the Global North.

(iii)   How much faster is solar uptake growing in China compared to the Global North?

(iv)   Do you think that these exponential models will be valid indefinitely? Why or why not?  If not, what type of model do you think would be better over the next fifty to 100 years?