Assignment: Risky Choice and CPT

The Data

You will be working with a dataset (DATA Study2 Rieskamp 2008.xls) from a paper by Rieskamp (2008). The dataset contains choices between pairs of gambles.  The file on Moodle contains all gambles and choices, plus some demographic information. The sheet gambles summarises all unique choice pairs. The key is provided but most gamble pairs consists of lotteries with two outcomes.

The Modelling

Your objective will be to fit three different versions of Cumulative Prospect Theory (see Stott, 2006; Tversky & Kahneman, 1992) to the data.  The stochastic choice rule should be the logit rule.  All fitting must be done on the individual level. There are 30 participants in total (columns in sheet choices). You may still aggregate your model fitting results (e.g., model parameters, parameter recovery) to answer some of the questions below.

Version 1: Fit the model with the α parameter for the curvature of the value function for both gains and losses. In addition include parameter λ for loss aversion:

Version 2: Include an additional parameter β to capture the curvature of the value function for losses (in addition to α for gains). This model should also include λ for loss aversion:

Version 3: In addition to the value function in Equation 2, you should also include the CPT probability weighting function as described in Tversky and Kahneman (1992).  This function should not be used for cumulative probabilities/decision weights (i.e., you should apply it to the single event probabilities):

Finally, the subjective valuation of a gamble A with outcomes xm  > ... > x1  ≥ 0 > y1  > ... > yn  with corresponding probabilities pm...p1  and q1...qn  is:

The logit function defining the probability of a gamble A being selected (compared to a gamble B) is:

The Task

Across your modelling attempts, you must illustrate the following tasks:

1.  Estimate the parameter values for each model (i.e., model fitting).  Summarise the results and comment on the findings.  Do you find parameter values according to the literature (e.g., λ > 2, risk aversion/risk seeking)?  What do the results suggest about participants’ risk preferences?  Make sure that the model fits are not affected by local minima.

2.  Model  Comparison:   Compare  the  3 different models using  appropriate methods and comment on the results.   You should be able to answer questions such as  “Is  the subjective transformation of probabilities via the CPT probability weighting function a necessary component to explain risky choice?” and “Do we need separate parameters (i.e., α and β) to capture the subjective transformation of gains and losses?”.  You should compare the model using the AIC and the likelihood ratio test (LHR), if models are nested. Do the two methods give you the same results?

3.  Make scatter plots  for each pairing of parameters, with dots representing each participant. You will see that some parameters are correlated over participants.  For example, participants with low α have high bias/temperature parameter (τ in the logit rule), and vice versa.  Why is this?  What does it tell us about the psychological processes underlying risky choice?

4.  Simulate data based on the initial model fits for each model (from a single set of starting parameter values, i.e., the best-fitting parameters for each model).  Then, re-fit all three models to the simu- lated/generated datasets to assess whether the generating parameters can be recovered.  Describe parameter recoverability across all three models.  If recoverability is poor, explain why this might be the case.

The Report

Use R to implement the models and all appropriate analyses.  Credit will be given for producing readable, annotated, simple, and clear code. Write the model as a function to which the choice attributes (amounts, probabilities) and model parameters are passed.   The  function  should  return choice probabilities.   The examples from our seminars show how to do this for the standard EUT model. You can expand this code to capture different parameters of the CPT.

Include the source code as an appendix (Section 2) in your report.  Be sure to include comments in your code, explaining how the code relates to your description.  The code should be runnable as a complete, stand alone script.  That is, I should be able to copy and paste your code into R in one chunk and have it reproduce your analysis.

The main body of your report, excluding the source code, should be fewer than 2,500 words.  A good report might be much shorter. Plots supporting your arguments are highly recommended.

Structure of the Report

There should be two sections in your answer.  In the first section, your answer should consist of “complete sentences”, as you would do in an essay.  This section should start with a description of the design of the paper and the research questions, the different models used here (e.g., what are the free parameters used and what do they represent?), the benefits of using models, and relevant aspects of the data (e.g., how many participants, how many choices). Next, your answer should cover the main 4 Tasks of the assignment. The final part should contain a summary of the main findings of your analysis.  Feel free to use headings to separate the parts in the first section in a reasonable manner. Include statistics in the text, or in tables or figures as appropriate. Tables and figures should be of publication quality (i.e., fully labelled).

Given the  correctness and appropriateness of your analyses, the first section will play the main role for your mark.  If an analysis is performed in the second section, but not reported in the first, it will not be considered.  Section 1 may be up to 2,500 words long  (but can of course be shorter).  Please  note that too many figures or tables in this part can also reduce your mark.

Section 2 should include the complete R code that you used and its output.  You can add comments to explain what the code does.  The code should show all of the commands that you used, enough for me to replicate exactly what you did (I will be copying and pasting code to run it, so make sure that works). You can include figures here that you used to explore the data that you do not wish to include in the first section. I will use the second section to help identify the source of any mistakes.  For practical reports and papers you would only submit the first section, and thus the first section should stand alone without the second section.

References

Rieskamp, J.  (2008).  The probabilistic nature of preferential choice.  Journal  of Experimental  Psychology:

Learning, Memory,  and  Cognition , 34(6), 1446—1465.  doi:  10.1037/a0013646

Stott, H. P.  (2006).  Cumulative prospect theory’s functional menagerie.  Journal  of Risk  and  Uncertainty , 32(2), 101—130. doi:  10.1007/s11166-006-8289-6

Tversky, A., & Kahneman, D.  (1992).  Advances in prospect theory:  Cumulative representation of uncer- tainty.  Journal of Risk  and  Uncertainty ,  5(4), 297—323. doi:  10.1007/BF00122574