STATS 763 (10/06/2021 17:30) Adv Regression Methodology (Exam)

Question 1:      [Total:  30 marks]

The  relationship  between  BMI  and various other factors was  investigated by Noh et al.  (2016) using 2012 data from the Korean Longitudinal Study of Aging.  Data on 7730 individuals aged 51 and over was available.

A BMI of 25 or more corresponds to an Overweight status, and a BMI of 30 or more to an Obese status.  We are  interested in the efect of Age on the Overweight and Obese indicators.  The  relationship between Age and BMI by biological Sex is depicted in the figure below.

a)  [10  marks]   We are  interested in the efect of Age for each biological Sex (i.e. the efect of Age*Sex) on the probability of being Overweight. We assume that adjusting for  unemployment status  (Unemployed= 1) and Marital  status accounts for all confounding.

The following  model is fitted  using all the data in data frame df;  note the identity link:

mod .ow  <-  glm(Overweight~Age*Sex+Unemployed+‘Marital  status‘, data=df,family=quasibinomial(link="identity"))

(Dispersion  parameter  for  quasibinomial  family  taken  to  be  1.00081)

Null  deviance:  7846 .2    on  7229    degrees  of  freedom Residual  deviance:  7777 .5    on  7224    degrees  of  freedom

Estimated variance matrix

Describe precisely the estimatedefect of a 10-year increase in Age in a fe- male, unemployed, married person on the probability of being Overweight according to the above model.  In your answer, include an estimate,a Wald 95% confidence interval and a p-value testing the null hypothesis that the efect is 0 .

b)  [3 marks]   We fit a model as above but without the Unemployed variable. The (quasi-)deviance diference is 19.6 with a p-value of 9.6 × 10-6; the Age estimate is -0.0041 with an s.e.  of 0.0007 and p-value of 1.4 × 10-8 , and the Age:Sex estimate  is 0.0036 with an s.e.  of 0.001 and  p-value of 0.003 .   What  among these statistics,  if  anything,  is  consistent with Unemployed  being  a  confounder  of  the  relationship  between  Age*Sex and Overweight?

c)  [5  marks]    There  are 98 individuals classified as Obese in the data.  We form  a  new  data  set newdf with these  98  observations  and  a  random sample of 98 non-Obese individuals from the rest of the data.

Explain in detail how you can fit a quasibinomial generalised linear model to these data  (with  an  identity  link) to obtain  unbiased  risk  diference estimates for the efects of the Age by Sex interaction, or explain in detail why it is not possible to do so.

d)    [Total:  12  marks]   Consider the following fitted  model  and derived ob- jects:

mod.new  <-  glm(Overweight~Age*Sex+Unemployed+‘Marital  status‘, family=quasi(variance  = mu^2,link="log"),data=df)

#  Derived  objects:

X  <- model .matrix(mod .new)    # model matrix n  <-  nrow(X)    #  number  of  observations

p  <-  ncol(X)    #  number  of  linear  parameters muhat  <-  fitted(mod .new)  #  fitted  values

k  <-  df$Overweight-muhat    #  ?

q  <-  k^2/muhat^2    #  ? z  <-sum(q)/(n-p)  #  ?

i.  [1  marks]     How  can  we  interpret  the  fitted  parameters  from  this

model?

ii.  [3 marks]   By what names do we usually call the objects k, q and z?

iii.  [4  marks]     Express  the  naive  variance  estimate  (corresponding  to vcov(mod.rr)) only in terms of the derived objects above.

iv.  [4  marks]   Write down an expression for a sandwich estimator of the variance in terms of the derived objects above.

Question 2:      [Total:  30 marks]

In April 2020, during New Zealand’s Level 4 Covid lockdown, the number of cars on the road dropped to about 15% of its usual value for April, and the number of road deaths was 12, compared to an average in recent years of 32 during April.

a)  [5 marks]   Given daily data on traffic (in millions of driver-km), deaths, and an indicator for lockdown, give a call to glm() specifying a suitable model for estimating the efect of lockdown on the  rate  of deaths  per million driver-km.

b)  [3 marks]  Based on the information given, will the coe代cient for lockdown in your model be positive or negative?

c)  [12  marks]   One explanation for the diference in rates during lockdown is that reducing traffic allows drivers to go faster. Another is that reducing traffic makes drivers less careful.  And another is that essential workers, who were  more  likely  to  be  driving  at  that time,  are  more  likely  to  be young, and young people are less safe drivers.  Draw a causal graph that allows for these possible relationships.

d)  [5  marks]  Assuming  you  have  data  on the  average age and the average speed  (in addition to tra代c density, deaths,  and  lockdown status), de- scribe how you would estimate the proportion of the lockdown efect on the rate of deaths per million driver-km that acts through traffic density.

e)  [5  marks]   If traffic density  is measured with error that has approximately zero mean, what will be the efect on your estimate in the previous part of this question?

Question 3:     [Total:  30 marks]  You are asked to build a predictive model for house prices, using a set of prices paid in Auckland during the first half of 2021, and information on the property itself (e.g. size, house size, rooms, bathrooms, building age, type of heating and cooling, kitchen age) and the neighbourhood (e.g. schools, average income, ethnicity distribution, public transport availabil- ity, distance to shops, travel time to city centre, crime rate, age distribution) . Auckland real estate prices are the highest in the country, and are expected to increase further.

a)  [3  marks]   Why would using all the variables in a predictive model not be expected to give the lowest prediction error for new data?

b)  [8  marks]     Describe  two  ways  of  regularising  the  model  that  might  be expected to give better predictions.

c)  [9 marks]  Explain one way of obtaining an approximately unbiased estimate of the prediction error from one of these model selection strategies.

d)  [5  marks]    Suppose  the  model  is  applied  to  predict  real  estate  prices  in Auckland in the second half of 2021 .  What systematic diferences, if any, would you expect between the model predictions and the actual prices? Explain.

e)  [5  marks]    Suppose  the  model  is  applied  to  predict  real  estate  prices  in Hamilton in the second half of 2021 .  What systematic diferences, if any, would you expect between the model predictions and the actual prices? Explain.